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數學猜想是什麼?它到底有什麼用?

2020-10-12    作者:唐國強   來源:加拿大多倫多大學文理學院   VIEW:

數學猜想(或稱數學猜測、數學假設、數學問題等)是根據已知條件的數學原理對未知的量及其關係的似真推斷,它既有邏輯的成分,又含有非邏輯的成分,因此它具有一定的科學性和很大程度的假定性。這樣的假定性命題是否正確,尚需通過驗證和論證。雖然數學猜想的結論不一定正確,但它作為一種創造性的思維活動,是科學發現的一種重要方法,也是數學獨特魅力的主要體現之一。

數學猜想由前提和結論兩部分組成;它以已有的部分事實和正確的數學知識(公理、定理、公式等)為前提,以在前提的基礎上作出的假定性的判斷為結論。數學猜想可分為存在型猜想(如「費馬猜想」)、狀態型猜想(如「龐加萊猜想」)、規律型猜想(如「abc猜想」)、關係型猜想(如「哥德巴赫猜想」)、方法型猜想(如「四色問題」)等。它是以一定的數學事實為根據,包含著以數學事實作為基礎的可貴的想象成分;沒有數學事實作根據,隨心所欲地胡猜亂想得到的命題不能稱之為「數學猜想」。

數學猜想通常是應用觀察、類比、分析、歸納等方法提出的,或者是在靈感中、直覺中閃現出來的。例如,中國數學家、語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列,巧妙地運用聯繫觀察法和不完全歸納法,於1992年正式提出了梅森素數分布的重要猜想(即「周氏猜測」);美籍挪威數學家、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為:周氏猜測具有創新性,開創了富于啟發性的新方法;其創新性還表現在揭示新的規律上。

數學猜想是猜想者運用分析、綜合、演繹尤其是類比、歸納等科學發現的思維方法,通過對數學對象和客觀現象的洞察而預測新的數學事實與規律。創新性是其重要特徵,沒有創新,就談不上數學猜想;創新是數學猜想的靈魂,它需要改變舊的思維方式、方法,突破固有的理論觀點。數學猜想的創新性表現於揭示新的數學事實、預見新的數學規律。可見創新性是數學猜想的一大特點。

數學猜想有的被驗證為正確的(如費馬大定理、卡塔蘭猜想、龐加萊猜想、林格爾猜想等),並轉化為定理,匯入數學理論體系之中;有的被驗證為錯誤的(如梅森猜想、歐拉猜想、費馬數猜想、馮·諾伊曼猜想等);還有一些正在驗證過程中(如abc猜想、黎曼假設、傑波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以說,數學猜想的解決對於數學發展所帶來的影響,不僅在於猜想本身的被證明(證實))或證否(證偽),而且還在於新方法、新理論的提出;而解決數學猜想過程中所採用的創新研究方法,也是數學發展的重大影響因子。

數學猜想一般都是經過對大量事實的觀察、驗證、類比、歸納、概括等而提出來的。這種從特殊到一般,從個性中發現共性的方法是數學研究的重要動力。數學猜想的提出與研究,生動地體現了辯證法在數學中的應用,極大地推動了數學方法論的研究;而數學方法對於數學的發展起著關鍵性的推動作用,許多比較困難的重大問題的解決,往往取決於數學概念和數學方法上的突破。

此外,數學猜想往往成為數學發展水準的一項重要標誌,它的探究會帶來新的數學內容,也會誘導出一些新的課題或猜想。例如:費馬大定理產生了「理想數」概念,開創了代數數論;哥德巴赫猜想促進了篩法和圓法的發展,尤其是發現了殆素數、例外集合、小變量的三素數定理等;四色問題通過電子計算機得以解決,從而開闢了機器證明的新時代;黎曼假設不僅使素數定理得以證明,還使1000多個數學命題(以黎曼假設成立為前提)得以提出。從這個意義上講,數學猜想不僅是一顆顆「璀璨豔麗的寶石」,而且是一隻只「能生金蛋的母雞」。

可以說,數學猜想對於數學發展的作用巨大,而數學發展往往影響著一個國家的綜合實力。對於數學猜想之於科學知識的作用,德國數學家卡爾·高斯有句名言:「若無某種大膽果敢的猜想,一般是不可能有知識進展的。」數學知識的進展往往會促進科學的發展,乃至喚起科學的革命。因此,數學猜想是推動科學發展的強大動力之一。許多科學家認為,數學猜想會造就一種獨特的魅力,這種魅力會使牠獨樹一幟,激發人們對它的探究興趣。

何種數學猜想會造就獨特魅力呢?前不久,荷蘭數學家、物理學家羅貝特·捷格拉夫在《量子》雜誌發表的「數學猜想的機巧藝術」一文中認為:一個具有魅力的猜想應該具備簡潔性;它是一個有根據的猜測,而不是證明;它應該是「不平凡的」,即不容易被證明;提出猜想的人比終結它的人更重要;數學猜想的證明雖敗猶榮。

數學史上充滿著各種各樣的猜想,伴隨並且促進著數學的發展。年年都有不少數學猜想被提出,也有不少數學猜想被破解,還有一些重量級的猜想,讓數學家們絞盡腦汁,但迄今尚未被破解;要想破解牠們,不僅需要紮實的數學基礎、過人的思維能力和頑強的拚搏精神,還需要對前人所做的種種嘗試有一系統瞭解。

學術界有個說法:全世界適合去攻克重要數學猜想的人不超過100個,那都是具有百分百天賦的數學家。許多數學猜想看似簡單易懂,一般人都能理解,但實則內涵深邃無比,不可輕易觸碰、盲目求解;否則就會做「無用功」,甚至浪費生命,花了時間和精力,卻沒有得到任何有意義的結果。

眾所周知,數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科;它既是關於已知的,又是關於未知的。數學猜想架起了從已知到未知的橋梁;而破解數學猜想,正是數學家們一直在追求的目標。最後,讓我們借用德國數學家大衛·希爾伯特的一句名言來結束本文:「我們必須知道,我們必將知道。」

文/唐國強(作者單位:加拿大多倫多大學文理學院)

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